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数学中的伽罗瓦群主张，源流于19世纪的法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦，他在旋即的生存中，创造了这个具有长远影响的表面。伽罗瓦群磋议起了代数和群论两大数学分支，匡助咱们深入阐发了多项式方程的解的结构，况且处罚了一个被称为"根式可解问题"的陈腐数常识题。要深入阐发伽罗瓦群，需要对一些基本的数学主张有所阐发。

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在数学中，群是一种基本的代数结构。群论是研究群过火性质的一个蹙迫的数学分支，无为运用于各式数学范围，如概括代数、代数拓扑，以及物理学等范围。

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一个群由一个集聚以及一个二元运算符组成，需要得志以下四个条款：

阻滞性：麇聚积率性两个元素通过二元运算，效果仍然在这个麇聚积。

聚首律：麇聚积率性三个元素a，b，c，有 (a * b) * c = a * (b * c) （"*" 示意二元运算）。

单元元存在：存在一个元素e，对麇聚积的率性元素a，有 e * a = a * e = a。

逆元存在：麇聚积的率性元素a沙巴三公，王人存在一个元素b（时常被称为a的逆元），得志 a * b = b * a = e，其中e是单元元。

在这些条款下，群的结构不错相等复杂也不错相等简便。举例，整数集聚配上加法运算就组成了一个群，其中单元元是0，每个数的逆元是其相背数。

需要刺主张是，群的二元运算无谓得志交换律。也即是说，对于群中的元素a和b，ab=ba不一定建造。淌若对于群中的所有元素a和b，王人有ab=ba，那么这个群被称为阿贝尔群或交换群。

域

在代数中，域（Field）是一个相等蹙迫的基本主张，它是一个包含加法和乘法运算的集聚。在这个麇聚积，加法和乘法得志交换律、聚首律和分派律，且存在加法和乘法的单元元和逆元（除了零莫得乘法逆元）。实数、复数、有理数等王人是典型的域的例子。

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分散域（Splitting field）是代数延迟的一种，时常与多项式和代数方程的解相关。对于某一给定的多项式，淌若在某一域中该多项式弗成被因式理解，但在其某一延迟域中不错被彻底理解为线性因子，那么这么的延迟域就称为原多项式的分散域。分散域的主张在伽罗华表面中起到关键作用，用于研究一元多项式的根的结构。

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比如说，斟酌多项式x^2 + 1。在实数域R中，这个多项式无法被理解成线性因子。然则在复数域C中，这个多项式不错被理解为(x - i)(x + i)，因此咱们不错说复数域C是这个多项式在实数域R上的分散域。

群和域的区别

群和域王人是数学中的代数结构，它们有一些共同的特色，但也有一些关键的区别。

操作的数目：一个群是由一个集聚和一个得志特定属性的二元运算（比如加法或乘法）组成的，而一个域包含两个运算：加法和乘法。

运算的性质：在群中，对于任何元素，必须存在一个逆元，使得元素与其逆元的运算效果为单元元。在域中，对于加法，任何元素王人有一个加法逆元（相背数）沙巴三公，对于乘法，除了0以外的任何元素王人有一个乘法逆元（倒数）。

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结构的复杂性：一般来说，域的结构比群的结构更复杂。域必须得志更多的条款，举例加法和乘法的分派律。

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比如，整数集聚配上加法运算组成一个群，但它并不组成一个域，因为整数麇聚积的元素（除了1和-1）莫得乘法逆元。另一方面，有理数、实数、复数等王人是域的例子，它们既得志群的性质，又得志域的性质。

简便地说，群强调了一种运算的对称性和逆运算性，而域则是一种更复杂的结构，它涵盖了两种运算，这两种运算既互相舒适，又互干系联。因此，域在许多量学范围，如代数、分析、几多么王人有蹙迫运用，而群则是阐发对称性和结构性的关键用具。

总的来说，域是一种更复杂的结构，它内容上包含了两个群：一个是对于加法的群，另一个是对于乘法的群（不包括0）。

自同构

简便来说，自同构（Automorphism）是一个集聚到其自身的双射，且这个映射保握麇聚积的结构不变。

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为了具体化这个主张，咱们需要明确什么是"结构"，这取决于咱们正在究诘的对象类型。在不同的数学范围，结构的主张可能有所不同。

在群论中，群的自同构是一个将群映射到自身的双射，它得志对群的所有元素x和y，王人有f(xy) = f(x)f(y)。换句话说，它保握群的运算不变。

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在图论中，图的自同构是一种绝顶的置换，它保握了图的边衔接关系不变。

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在拓扑学中，拓扑空间的自同构是一种双射，它保握了开集的结构。

在几何学中，一个几何对象的自同构是一种保握所有几何性质（如距离、角度等）不变的变换。

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是以，自同构是对某种结构的一种保握。自同构的集聚本人也组成一个群，这对于阐发和研究这些数学对象的对称性很是灵验。

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伽罗瓦群的主张是由法国数学家伽罗瓦在19世纪早期提议的，他用这个主张处罚了一个陈腐的问题：笃定一个多项式方程是否不错通过基本代数运算和有理数来处罚。

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给定一个多项式方程和它的一个分散域（也即是一个包含了所有该方程根的域），伽罗瓦群即是这个分散域上所有保握基域元素固定的自同构（也即是保握结构的映射）组成的群。伽罗瓦群的元素是这些自同构，群的运算是函数的复合。

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伽罗瓦群的蹙迫性在于，它提供了一个桥梁，将一个代数方程的解与一个群（更具体地说，与这个群的结构）磋议起来。通过研究伽罗瓦群的性质沙巴三公，咱们不错获取对于代数方程解的深刻洞见。举例，伽罗瓦发现，一个一元n次多项式方程不错用根式解当且仅当其伽罗瓦群是可解群。这一表面解答了被称为"根式可解问题"的陈腐数常识题。

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